Question

（2013•深圳一模）已知橢圓C 的中心為原點O，焦點在x 軸上，離心率為

3

2

，且點(1，

3

2

)在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，橢圓C 的長軸為AB，設 P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，點Q 滿足

PQ

=

HP

，直線AQ與過點B 且垂直于x 軸的直線交于點M，

BM

=4

BN

．求證：∠OQN為銳角．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

c

a

=

3

2

，及點(1，

3

2

)在該橢圓上滿足橢圓的方程與a²=b²+c²即可求出；
（2）設P（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），由A（-2，0），PQ=HP，得到Q（x₀，2y₀），進而得到直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．令x=4即可得到點M的坐標；再根據(jù)向量共線

BM

=4

BN

即可得到點N的坐標，只要證明

QO

•

QN

＞0且三點O，Q，N不共線即可得到∠OQN為銳角．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
由題意可得 e=

c

a

=

3

2

，
又a²=b²+c²，∴4b²=a²．
∵橢圓C經(jīng)過(1，

3

2

)，代入橢圓方程有   

1

4b2

+

3 4

b2

=1，
解得b²=1．∴a²=4，
故橢圓C的方程為  

x2

4

+y2=1．
（2）設P（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），
∵A（-2，0），
∵PQ=HP，∴Q（x₀，2y₀），
∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．   
令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．
∵B（2，0），

BM

=4

BN

，
∴N(2，

y0

x0+2

)．
∴

QO

=(-x0，-2y0)，

QN

=(2-x0，

-2y0(1+x0)

x0+2

)．
∴

QO

•

QN

=-x0(2-x0)+(-2y0)•

-2y0(1+x0)

x0+2

=x0(x0-2)+

4y02(1+x0)

x0+2

∵

x02

4

+y02=1，
∴4y02=4-

x

2 0

∴

QO

•

QN

=2-x0．
∵-2＜x₀＜2，
∴

QO

•

QN

=2-x0＞0．
又O、Q、N不在同一條直線，
∴∠OQN為銳角．

點評：本題主要考查橢圓的方程與性質、向量相等于共線及夾角等基礎知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．