Question

20．某城市前些年對(duì)環(huán)保工作不重視，到去年2006年底堆積的垃圾達(dá)到100萬(wàn)噸，侵占大量土地，造成環(huán)境污染．估計(jì)今后
若干年還將平均每年產(chǎn)生8萬(wàn)噸新的垃圾．市政府經(jīng)調(diào)查研究，決定科學(xué)治廢，估計(jì)今年能處理垃圾5萬(wàn)噸，并且以后處理垃圾噸量將每年增加10%
（1）2009年底比2008年底垃圾量增加多少萬(wàn)噸？
（2）到哪一年底垃圾堆積量最多？
（3）到哪一年開(kāi)始，垃圾堆積少于50萬(wàn)噸？

Answer 1

分析 （1）通過(guò)分析可知從2007年開(kāi)始年處理垃圾噸量構(gòu)成以5萬(wàn)噸為首項(xiàng)、1.1為公比的等比數(shù)列，分別計(jì)算出2008、2009年底的垃圾總量、相減計(jì)算即得結(jié)論； 
（2）通過(guò)設(shè)到（2006+n）年底垃圾堆積量最多，利用該年處理垃圾剛超過(guò)8萬(wàn)噸計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)記s是第2006+x的垃圾總量，計(jì)算可知s=150+8x-50×1.1^x，解不等式150+8x-50×1.1^x＜50，取x的最小正整數(shù)即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，從2007年開(kāi)始，年處理垃圾噸量構(gòu)成以5萬(wàn)噸為首項(xiàng)、1.1為公比的等比數(shù)列，
∴到2008年垃圾總的應(yīng)該是100+8×2-5-5×1.1=105.5，
2009年應(yīng)該是105+8-5×1.1×1.1=106.95，
∴106.95-105.5=1.95，
即2009年底比2008年底垃圾量增加1.95； 
（2）設(shè)到（2006+n）年底垃圾堆積量最多，
依題意，則該年處理垃圾剛超過(guò)8萬(wàn)噸，
∴5×1.1ⁿ＞8，即1.1ⁿ＞1.6，
解得：n＞4.9，
∴n=5，2006+n=2011，
即2011年垃圾堆積量最多；
（3）記s是第2006+x的垃圾總量，
則s=100+8x-$\frac{5×（1-1．{1}^{x}）}{1-1.1}$
=100+8x-50×1.1^x+50 
=150+8x-50×1.1^x，
令s＜50，即150+8x-50×1.1^x＜50，
整理得：50×（1+0.1）^x-8x＞100，
∴50×[${C}_{x}^{0}$+${C}_{x}^{1}$×0.1¹+${C}_{x}^{2}$×0.1²+…+${C}_{x}^{x}$×0.1^x]-8x＞100，
計(jì)算可知，x=16，
即從2022年開(kāi)始，垃圾堆積少于50萬(wàn)噸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．