Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（

1

2

）＞0，
f（-

3

）＜0，則函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為

 

個．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)為偶函數(shù)得f（-

3

）=f（

3

），又在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在（

1

2

，

3

）上與x軸有一個交點，在利用偶函數(shù)圖象的對稱性可得必在（-

3

，-

1

2

）上也有一個交點，即可得答案

解答： 解：由于函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因此在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
又因為f（

1

2

）＞0＞f（-

3

）=f（

3

），
所以函數(shù)f（x）在（

1

2

，

3

）上與x軸有一個交點，
必在（-

3

，-

1

2

）上也有一個交點，
故函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)為2．
故答案為：2．

點評：本題主考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、對稱性以及奇偶性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同．