Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，并且a₁=1，對任意正整數(shù)n，S_n+1=4a_n+2；設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，3，…）．
（I）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n+1=4a_n+2，知S_n=4a_n-1+2（n≥2），所以a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），由此可知b_n=3•2^n-1（n∈N*）．
（II）由題意知，，由此可知．
解答：解：（I）∵S_n+1=4a_n+2，∴S_n=4a_n-1+2（n≥2），
兩式相減：a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），∴a_n+1=4（a_n-a_n-1）（n≥2），∴b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1，b_n+1=2（a_n+1-2a_n）=2b_n（n∈N*），
∴，∴{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，（4分）
∵b₁=a₂-2a₁，而a₁+a₂=4a₁+2，∴a₂=3a₁+2=5，b₁=5-2=3，
∴b_n=3•2^n-1（n∈N*）（7分）
（II），
∴，（9分）
而，
∴（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．