Question

已知等差數(shù)列{a_n}公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²－12x＋27＝0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n＝1－b_n．

(1)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較與S_n+1的大小，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知得， 　　又∵{an}的公差大于0， 　　∴a5＞a2． 　　∴a2＝3，a5＝9． 　　∴d＝＝2，a1＝1． 　　∵Tn＝1－b1，∴b1＝． 　　當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－1＝1－bn－1， 　　∵bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，化簡，得bn＝bn－1， 　　∴{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 　　∴bn＝×()n－1＝．∴an＝2n－1，bn＝． 　　(2)∵Sn＝n＝n2， 　　∴Sn+1＝(n＋1)2，＝， 　　以下比較與Sn+1的大�。� 　　當(dāng)n＝1時(shí)，，S2＝4，∴＜S2， 　　當(dāng)n＝2時(shí)，，S3＝9，∴＜S3， 　　當(dāng)n＝3時(shí)，，S4＝16，∴＜S4， 　　當(dāng)n＝4時(shí)，，S5＝25，∴＞S5． 　　猜想：n≥4時(shí)，＞Sn+1． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　(1)當(dāng)n＝4時(shí)，已證． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N+，k≥4)時(shí)，＞Sk+1， 　　即＞(k＋1)2， 　　那么，n＝k＋1時(shí)， 　　＝3×＞3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3 　�。�(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1＞[(k＋1)＋1]2＝S(k+1)+1， 　　∴n＝k＋1時(shí)，＞Sn+1也成立． 　　由(1)(2)可知n∈N+，n≥4時(shí)，＞Sn+1都成立． 　　綜上所述，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，＜Sn+1， 　　當(dāng)n≥4時(shí)，＞Sn+1． 　　思路分析：“試分析”在告訴我們，與Sn+1的大小可能隨n的變化而變化，因此對(duì)n的取值驗(yàn)證要多取幾個(gè)．