Question

（2012•洛陽(yáng)一模）已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx（a≠0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）求證：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

（n∈N﹡，且n≥2）．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，利用f'（x）＞0求單調(diào)遞增區(qū)間，f'（x）＜0求單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，利用（1）的結(jié)論，可知f（x）在[

1

2

，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，最值可求．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x＞1時(shí)f（x）＞f（1）=0，即lnx＞1-

1

x

，采用累積的方法證明．

解答：解（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=-

1

ax2

+

1

x

=

1

x2

(x-

1

a

)
當(dāng)a＜0，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)0＜a時(shí)，解f'（x）＞0，得x＞

1

a

，
解f'（x）＞0，得0＜x＜

1

a

，
所以當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)0＜a時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

a

，+∞）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

x-1

x2

，由（1）知f（x）在[

1

2

，1）上單調(diào)遞增
，在（1，2）上單調(diào)遞減，所以f（x）min=f（1）=0
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）＞f（2），所以f（x）max=f（

1

2

）=1-ln2，
綜上所述，f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x＞1時(shí)f（x）＞f（1）=0，即lnx＞1-

1

x

所以n≥2時(shí)，ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

，
∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

…，ln

n

n-1

＞

1

n

以上各式相加可得ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即ln(

2

1

×

3

2

×

4

3

×…

n

n-1

)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

（n∈N﹡，且n≥2）．
所以原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問(wèn)題，函數(shù)的定義域思想，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和分類討論的思想，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力．