Question

如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，設(shè)小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？最大值為多少？

Answer 1

【答案】分析：設(shè)小正方形的邊長為xcm，則盒子容積為：y=（8-2x）•（5-2x）•x為三次函數(shù)，用求導(dǎo)法，可得x=1時，函數(shù)y取得最大值，此時盒子容積最大．
解答：解：設(shè)小正方形的邊長為xcm，則x∈（0，）；
盒子容積為：y=（8-2x）•（5-2x）•x=4x³-26x²+40x，
對y求導(dǎo)，得y^′=12x²-52x+40，令y^′=0，得12x²-52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），
所以，當(dāng)0＜x＜1時，y^′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜時，y^′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)x=1時，函數(shù)y取得最大值18；
所以，小正方形的邊長為1cm，盒子容積最大，最大值為18cm³．
點評：本題考查了簡單的三次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用求導(dǎo)法求得三次函數(shù)在其定義域上的最值問題，是中檔題．