Question

9．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{2a+c}$．
（1）求角B的大�。�
（2）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求△ABC的面積．
（3）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導公式變形后，根據(jù)sinA不為0，得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角B的度數(shù)；
（2）由（1）中得到角B的度數(shù)求出sinB和cosB的值，根據(jù)余弦定理表示出b2，利用完全平方公式變形后，將b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面積公式表示出△ABC的面積，把ac與sinB的值代入即可求出值．
（3）根據(jù)余弦定理建立等式，利用基本不等式的性質(zhì)確定bc的最大值，進而代入三角形面積公式求得面積的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
將上式代入已知$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{2a+c}得\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∵B為三角形的內(nèi)角，∴$B=\frac{2}{3}π$；
（2）將$b=\sqrt{13}，a+c=4，B=\frac{2}{3}π$代入余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
b²=（a+c）²-2ac-2accosB，即$13=16-2ac（1-\frac{1}{2}）$，
∴ac=3，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3}{4}\sqrt{3}$．
（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，
又∵b²=a²+c²-ac，
∴3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
即ac≤3，
當且僅當a=c時等號成立，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．即△ABC面積的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查正弦定理，余弦定理及三角函數(shù)的恒等變形．熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．利用正弦定理表示出a，b及c是第一問的突破點．