Question

6．設函數(shù)f（x）=x•e^x，g（x）=x²+2x，$h（x）=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$，若對任意的x∈R，都有h（x）-f（x）≤k[g（x）+2]成立，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，\frac{1}{e}+1]$
• B． $（-2，\frac{1}{e}+3]$
• C． $[2+\frac{1}{e}，+∞）$
• D． $[1+\frac{1}{e}，+∞）$

Answer 1

分析 由題設h（x）-f（x）≤k[g（x）+2]恒成立等價于f（x）+kg（x）≥h（x）-2k；
構造函數(shù)H（x）=f（x）+kg（x），利用導數(shù)H'（x）判斷H（x）的單調性，
求出H（x）的最值，判斷不等式是否恒成立，從而求出k的取值范圍．

解答 解：由題設h（x）-f（x）≤k[g（x）+2]恒成立，
等價于f（x）+kg（x）≥h（x）-2k①；
設函數(shù)H（x）=f（x）+kg（x），
則H'（x）=（x+1）（e^x+2k）；
（1）設k=0，此時H'（x）=e^x（x+1），
當x＜-1時H'（x）＜0，
當x＞-1時H'（x）＞0，
故x＜-1時H（x）單調遞減，x＞-1時H（x）單調遞增，
故H（x）≥H（-1）=-e^-1；
而當x=-1時h（x）取得最大值2，并且-e^-1＜2，
故①式不恒成立；
（2）設k＜0，注意到$H（-2）=-\frac{2}{e^2}$，
$h（-2）-2k=\sqrt{3}-2k＞\sqrt{3}＞-\frac{2}{e^2}$，故①式不恒成立；
（3）設k＞0，H'（x）=（x+1）（e^x+2k），
此時當x＜-1時H'（x）＜0，
當x＞-1時H'（x）＞0，
故x＜-1時H（x）單調遞減，x＞-1時H（x）單調遞增，
故$H（x）≥H（-1）=-\frac{1}{e}-k$；
而當x=-1時h（x）_max=2，故若使①式恒成立，
則$-\frac{1}{e}-k≥2-2k$，
解得$k≥2+\frac{1}{e}$．
故選：C

點評 本題考查了函數(shù)與不等式的應用問題，也考查了構造函數(shù)思想與等價轉化問題，是綜合題．