【題目】在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos2C﹣3cos(A+B)=1
(1)求角C的大;
(2)若c= ,求△ABC周長的最大值.
【答案】
(1)解:由cos2C﹣3cos(A+B)=1和A+B=π﹣C得,
2cos2C+3cosC﹣2=0,則(2cosC﹣1)(cosC+2)=0
解得cosC= 或cosC=﹣2(舍去),
因?yàn)?<C<π,所以C= ;
(2)解:方法1:由(1)得,A+B= ,則B= ﹣A,
由 得, ,
則a= ,b= ,…(8分)
則a+b= + = +
= +2 ( )=
=
∵ ,∴ ,
則 ,即a+b= ≤ ,
綜上:a+b+c≤ ,即△ABC周長的最大值是 .
法2:由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC,
則6=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab…(8分)
即6≥ =
解得(a+b)2≤24,則a+b≤ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時取到等號)
綜上:a+b+c≤ ,即△ABC周長的最大值是 .
【解析】(1)由內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式的變形化簡已知的等式,求出cosC的值,由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C的值;(2)方法1:由(1)和內(nèi)角和定理表示出A、B的關(guān)系,由正弦定理求出a、b,代入a+b利用兩角和差的正弦公式化簡,由A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出a+b的范圍,即可求出△ABC周長的最大值;方法2:由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC,代入數(shù)據(jù)結(jié)合完全平方公式化簡,利用基本不等式求出a+b的最大值,即可求出△ABC周長的最大值.
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知正弦定理:;余弦定理:;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a3=﹣6,S1=S5 , 則公差d=;Sn的最小值為 .
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【題目】在數(shù)列{an}中, .
(1)設(shè) ,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn .
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【題目】設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S1 , S2 , S4成等比數(shù)列,a5=9.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明: + +…+ < (n∈N*).
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【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n﹣1)an+2=(2n+1)an﹣1+8n2(n>1,n∈N*),設(shè) ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Sn , 則Sn的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊長分別為a、b、c.已知acosB﹣ b= ﹣ .
(1)求角A;
(2)若a= ,求b+c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為25cm的正方形中挖去邊長為23cm的兩個等腰直角三角形,現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中,問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少?
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【題目】求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2),且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.并判斷點(diǎn)M1(2,3),M2(2,4)與圓的位置關(guān)系.
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