Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁=2，S₂=5b₂，S₄=25b₃．
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式a_n及b_n；
（II）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=b_nS_n，問當(dāng)n為何值時(shí)，c_n取得最大值？

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則S₂=4+d，S₄=8+6d，b₂=2q，b₃=2q²，再根據(jù)題意列方程組求出公差與公比，進(jìn)而求出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（II）由（I）可得：S_n=2n²，所以c_n=4n²•(

4

5

)n-1．假設(shè)C_n最大，根據(jù)題意可得：n≥2，所以

Cn≥Cn+1 Cn≥Cn+1

，即可求出n的范圍求出n的具體數(shù)值．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則S₂=2a₁+d=4+d，S₄=4a₁+6d=8+6d，b₂=b₁q=2q，b₃=2q²，
根據(jù)題意可得：S₂=5b₂，S₄=25b₃，即

4+d=10q 8+6d=50q2

，
解得：

q= 4 5 d=4

或者

q= 2 5 d=0

（舍去），
因?yàn)閍₁=b₁=2，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
所以a_n=4n-2，b_n=2•(

4

5

)n-1．
（II）因?yàn)镾_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
所以S_n=2n²，所以c_n=b_nS_n=4n²•(

4

5

)n-1．
假設(shè)C_n最大，因?yàn)镃₁=4，C₂=

64

5

，所以C₁＜C₂，所以n≥2．
由C_n最大，可得：

Cn≥Cn+1 Cn≥Cn-1

，即

4n2( 4 5 )n-1≥4(n+1)2( 4 5 )n 4n2( 4 5 )n-1≥4(n-1)2( 4 5 )n-2

，
化簡可得：

n2-8n-4≥0 n2-10n+5≤0

，
解得：4+

20

≤n≤5+

20

，
因?yàn)?＜

20

＜5，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即當(dāng)n=9時(shí)，C₉最大．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列掌握利用不等式的性質(zhì)求數(shù)列的最大項(xiàng)，本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力與分析問題解決問題的基本能力．