Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(ex+a+1)

x

（a為常數(shù)，是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值，
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=

b

ln(ex+a+1)

-lnx，若g（x）≥5-3x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，建立方程關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)a的值，
（Ⅱ）將不等式恒成立，進(jìn)行參數(shù)分類(lèi)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）=

ln(ex+a+1)

x

（a為常數(shù)，是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
則f（-1）=f（1），
即-ln（

1

e

+a+1）=ln（e+a+1），
則ln（

1

e

+a+1）+ln（e+a+1）=ln[（

1

e

+a+1）（e+a+1）]=0，
即（

1

e

+a+1）（e+a+1）=1
則1+

1

e

（a+1）+e（a+1）+（a+1）²=1，
即（a+1）（（

1

e

+1+a+1）=0，
∴a+1=0，解得a=-1，
此時(shí)f（x）=

ln(ex+a+1)

x

=

lnex

x

=

x

x

=1為偶函數(shù)，滿(mǎn)足條件，
故a=-1．
（Ⅱ）g（x）=

b

ln(ex+a+1)

-lnx=

b

ln(ex+1-1)

-lnx=

b

x

-lnx，
若g（x）≥5-3x恒成立，
則

b

x

-lnx≥5-3x恒成立，
即b≥xlnx+5x-3x²在x＞0恒成立，
設(shè)m（x）=xlnx+5x-3x²，
則m′（x）=lnx+6-6x，
由m′（x）=lnx+6-6x=0，解得x=1，
即0＜x＜1時(shí)，m′（x）＞0．，函數(shù)m（x）單調(diào)遞增，
即x＞1時(shí)，m′（x）＜0．，函數(shù)m（x）單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)m（x）取得極小值，同時(shí)也是最小值m（1）=5-3=2，
故b≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．