【題目】已知橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為，且上的動點到的距離的最大值為4，最小值為2.

（1）證明：.

（2）若直線：與相交于，兩點（，均不與，重合），且，試問是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出此定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)題意，可得，即可解得橢圓的標準方程，設，表示出，，利用坐標法表示，由，即可證明；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，運用韋達定理可得根與系數(shù)的關系，由，運用坐標相乘可得，解出與的關系，進行判斷即可得出結(jié)論.

解：（1）證明：由題意可得，解得，

則，故的方程為.

設，則.

∵，，

∴，

∵，∴.

（2）解：設，，聯(lián)立，得

，

則，即，且，，

∴.

∵，，∴，

，即，

所以或.

當時，直線為，此時過定點，不合題意；

當時，直線為，此時直線過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：

①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間，使在上的值域為；

那么把叫閉函數(shù)．

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；

（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

(3)若是閉函數(shù)，求實數(shù)的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，，分別是和的中點，將沿著向上翻折到的位置，連接，.

（1）求證：平面；

（2）若翻折后，四棱錐的體積，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于兩點A，B，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x＝﹣3于點D（﹣3，m）．

（1）求m2+k2的最小值；

（2）若|OG|2＝|OD||OE|，求證：直線l過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)面⊥底面，，底面為直角梯形，其中

，O為中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求銳二面角A—C1D1—C的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著教育信息化2.0時代的到來，依托網(wǎng)絡進行線上培訓越來越便捷，逐步成為實現(xiàn)全民終身學習的重要支撐．最近某高校繼續(xù)教育學院采用線上和線下相結(jié)合的方式開展了一次300名學員參加的“國學經(jīng)典誦讀”專題培訓．為了解參訓學員對于線上培訓、線下培訓的滿意程度，學院隨機選取了50名學員，將他們分成兩組，每組25人，分別對線上、線下兩種培訓進行滿意度測評，根據(jù)學員的評分(滿分100分)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷學員對于線上、線下哪種培訓的滿意度更高?并說明理由；

(2)求50名學員滿意度評分的中位數(shù)，并將評分不超過、超過分別視為“基本滿意”、“非常滿意”兩個等級．

(i)利用樣本估計總體的思想，估算本次培訓共有多少學員對線上培訓非常滿意?

(ii)根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表：

并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有99.5％的把握認為學員對兩種培訓方式的滿意度有差異?

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】袋子中有四張卡片，分別寫有“瓷、都、文、明”四個字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“瓷”“都”兩個字都取到記為事件，用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表“瓷、都、文、明”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取卡片三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：

232

321

230

023

123

021

132

220

001

231

130

133

231

031

320

122

103

233

由此可以估計事件發(fā)生的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為F，過點的直線l與E交于A，B兩點.當l過點F時，直線l的斜率為，當l的斜率不存在時，.

（1）求橢圓E的方程.

（2）以AB為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

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