Question

7．設(shè)正△ABC的面積為2，邊AB，AC的中點(diǎn)分別為D，E，M為線段BE上的動點(diǎn)，則$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值為$\frac{13\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，結(jié)合三角形的面積可求正三角形的邊長，進(jìn)而可表示B，A，C，E的坐標(biāo)，然后由M在BE上，結(jié)合向量共線可表示M的坐標(biāo)及已知向量的坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)正三角形的邊長為a，則$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=2，
∴${a}^{2}=\frac{8}{\sqrt{3}}$，
∵B（-$\frac{1}{2}a$，0），C（$\frac{1}{2}a，0$），A（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），
∴E（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），$\overrightarrow{BE}$=$（\frac{3a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}）$，$\overrightarrow{BC}=（a，0）$，
設(shè)$\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BE}$=（$\frac{3ka}{4}，\frac{\sqrt{3}ka}{4}$），
∴$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$=（$-\frac{3ka}{4}，-\frac{\sqrt{3}ka}{4}$）+（a，0）=（$\frac{4a-3ka}{4}，-\frac{\sqrt{3}ka}{4}$），
∴則$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²=$-\frac{3ka}{4}×\frac{4a-3ka}{4}+（-\frac{\sqrt{3}ka}{4}）×（-\frac{\sqrt{3}ka}{4}）$+a²
=$\frac{3{a}^{2}}{4}（{k}^{2}-k）+{a}^{2}$，
∵0≤k≤1，
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，上式取得最小值$\frac{13\sqrt{3}}{6}$，
故答案為：$\frac{13\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．