已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為-,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),(x2,y2).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
(1)
(2)結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系,以及橢圓的第二定義的運(yùn)用來證明。
【解析】
試題分析:解:(Ⅰ)設(shè)點,則到直線的距離為
,即, (2分)
因為在圓內(nèi),所以,故; (4分)
因為圓的半徑等于橢圓的短半軸長,所以,
橢圓方程為. (6分)
(Ⅱ)因為圓心到直線的距離為,所以直線與圓相切,是切點,故
為直角三角形,所以,
又,可得, (7分)
,又,可得, (9分)
所以,同理可得, (11分)
所以,即. (12分)
考點:橢圓的方程以及定義
點評:主要是考查了橢圓的方程的求解以及焦半徑公式的運(yùn)用,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年河南省十所名校高三第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為-,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年河南省十所名校高三第三次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為-,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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