Question

【題目】已知橢圓 為參數(shù)），A，B是C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，點(diǎn)D的極坐標(biāo)為 ．
（1）求線段AD的中點(diǎn)M的軌跡E的普通方程；
（2）利用橢圓C的極坐標(biāo)方程證明 為定值，并求△AOB的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為 ，由題意可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2cosα，sinα）參數(shù)，

則線段AD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，

所以點(diǎn)M的軌跡E的參數(shù)方程為 為參數(shù)）

消去α可得E的普通方程為 ．

（2）解：橢圓C的普通方程為 ，化為極坐標(biāo)方程得ρ2+3ρ2sin2θ=4，

變形得 ，

由OA⊥OB，不妨設(shè) ，所以

= （定值），

S△AOB= ρ1ρ2= = ，

易知當(dāng)sin2θ=0時(shí)，S取得最大值1．

【解析】（1）由題意求得線段AD中點(diǎn)坐標(biāo)M，即可求得M的軌跡E的參數(shù)方程，消去α，即可求得E的普通方程；（2）由橢圓的普通方程，求得極坐標(biāo)方程，求得 ，由OA⊥OB，根據(jù) ，化簡(jiǎn)即可求得 = 為定值，根據(jù)三角形的面積公式，利用二倍角公式，及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△AOB面積的最大值．