Question

11．正四棱臺兩底面邊長分別為2和4．
（1）若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側(cè)面積；
（2）若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正四棱臺的高、斜高以及對應(yīng)的線段組成直角梯形，求出斜高，從而求出側(cè)面積；
（2）根據(jù)正四棱臺的側(cè)面積求出斜高，再由對應(yīng)梯形求出四棱臺的高．

解答 解：（1）如圖，設(shè)O₁，O分別為上，下底面的中心，
過C₁作C₁E⊥AC于E，過E作EF⊥BC于F，連接C₁F，
則C₁F為正四棱臺的斜高；
由題意知∠C₁CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C₁O₁=$\sqrt{2}$；
在Rt△C₁CE中，C₁E=CE=$\sqrt{2}$，
又EF=CE•sin 45°=1，
∴斜高C₁F=$\sqrt{{{C}_{1}E}^{2}{+EF}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_側(cè)=4×$\frac{1}{2}$×（2+4）×$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$；
（2）∵S_上底+S_下底=2²+4²=20，
∴S_側(cè)=4×$\frac{1}{2}$×（2+4）×h_斜高=20，
解得h_斜高=$\frac{5}{3}$；
又EF=1，
∴高h(yuǎn)=$\sqrt{{{h}_{斜高}}^{2}{-EF}^{2}}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征與有關(guān)的計算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．