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已知是過點的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩個交點,分別為A1、B1和A2、B2.

(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范圍;

(Ⅱ)若A1恰是雙曲線的一個頂點,求│A2B2│的值.

解（Ⅰ）依照設，得斜率都存在，因為過點

且與雙曲線有兩個交點,故方程組

              ①

有兩個不同的解，在方程組①中消去整理得

   ②

若方程組①只有一個解，即與雙曲線只有一個交點，與題設矛盾。故

即方程②的判別式為

設的斜率為因為過點且與雙曲線有兩個交點，故方程組

       ③

有兩個不同的解,在方程組③中消去y,  整理得

同理有④

又因為l1⊥l2,所以有k1?k2=-1于是,l1、l2與雙曲線各有兩個交點,等價于

解得

∴

(Ⅱ)雙曲線y2-x2=1的頂點為(0,1)、(0,-1).取A1(0,1)時,有

解得從而

將代人方程④得

記l2與雙曲線的兩交點為A2(x1,y1)、B2(x2,y2),則

│A2B2│2  =(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3[(x1+x2)2-4x1x2].

由知

∴

即

當取A1(0,-1)時,由雙曲線y2-x2=1關于x軸的對稱性,知

所以L1過雙曲線的一個頂點時，

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：044

已知、是過點的兩條互相垂直的直線，且、與雙曲線各有兩個交點，分別為、和、，求的斜率的取值范圍．

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已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.

①證明直線與軸交點的位置與無關；

②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；

(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

 

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已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.

①證明直線與軸交點的位置與無關；

②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；

(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

 

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