Question

11．已知y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，且f′（x）=lnx+1，則函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 由切線的方程，可得f（1）=0，f′（1）=1，f′（x）=lnx+1，可設(shè)f（x）=xlnx+t，求得t=0，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間、極小值，即為最小值．

解答 解：由f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，
可得f（1）=0，f′（1）=1，
f′（x）=lnx+1，可設(shè)f（x）=xlnx+t，
由f（1）=0，可得t=0，即f（x）=xlnx，
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=$\frac{1}{e}$，f（x）取得極小值也為最小值，且為-$\frac{1}{e}$．
故答案為：-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運算能力，屬于中檔題．