Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-aln x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，求a的值；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（2）=0，解出即可；
（3）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=x-alnx，所以$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜a，f'（x）＜0；若x＞a，f'（x）＞0；
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞）．
（2）因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，所以f'（2）=0，即$1-\frac{a}{2}=0$，解得a=2．
（3）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），函數(shù)f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞），
所以f（x）_min=f（a）=a（1-lna）．
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，所以函數(shù)f（x）的圖象可知，f（a）=a（1-lna）＜0，解得a＞e，
所以a的取值范圍是（e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．