Question

在三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)。

（1）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求證：AB₁∥平面A₁DC；
（3）求二面角D-A₁C-A的余弦值。

Answer 1

解：（1）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形， 所以 所以平面，三棱柱是直三棱柱 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110926/20110926153348859920.gif">平面， 所以，　　　　　　　　 又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110926/20110926153348906987.gif">，D為中點(diǎn)， 所以 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110926/201109261533489531040.gif"> 所以平面。

（2）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110926/20110926153349046957.gif">為正方形， 所以O(shè)為中點(diǎn)， 又D為中點(diǎn)， 所以O(shè)D為中位線， 所以， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110926/20110926153349140906.gif">平面，平面， 所以平面。 （3）因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，， 所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系 設(shè)，則 設(shè)平面的法向量為，則有 ，， 取得 又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110926/20110926153349625901.gif">平面 所以平面的法向量為 因?yàn)槎�面�?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110926/20110926153349734972.gif">是鈍角， 所以，二面角的余弦值為。