Question

18．已知邊長為6的正三角形ABC，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，AD與BE交點P，則$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$的值為3．

Answer 1

分析 由題意作圖輔助，從而可得點P是正三角形ABC的中心，從而可求平面向量的數(shù)量積．

解答 解：由題意作圖如右圖，
∵$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴D，E分別為線段BC，AC的中點，
∴點P是正三角形ABC的中心，
∴|$\overrightarrow{PB}$|=$\frac{2}{3}$•|BE|=$\frac{2}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•|AB|=2$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{1}{2}$|BP|=$\sqrt{3}$，
且∠BPD=$\frac{π}{3}$，
故$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=|$\overrightarrow{PB}$||$\overrightarrow{PD}$|cos$\frac{π}{3}$=6×$\frac{1}{2}$=3，
故答案為：3．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．