Question

9．已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x-1}}+1，0≤x≤1\\{log_{\frac{1}{2}}}\frac{x}{4}，1＜x＜2\end{array}$，設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n項和為S_n，則S_n=3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

Answer 1

分析 通過題意當(dāng)x∈[0，2）時f（x）的解析式可知f（x）在[0，2）上的最大值為a₁=2，進而利用函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），可知函數(shù)向右平移2個單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x-1}}+1，0≤x≤1\\{log_{\frac{1}{2}}}\frac{x}{4}，1＜x＜2\end{array}$，
∴f（x）在[0，2）上的最大值為a₁=f（1）=2，
又∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{3}$f（x），即函數(shù)向右平移2個單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，
∴a_n=2•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴S_n=2•$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
故答案為：3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．