19．求證：
（1）對任意的x∈R，都有ex≥x+1；
（2）對任意的∈（0，+∞），都有$\frac{x-1}{x}$≤lnx．

分析 構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-x-1，則f′（x）=ex-1，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f（0）=0，
∴ex≥x+1；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，則g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴l(xiāng)nx-$\frac{x-1}{x}$≥0，
∴對任意的x∈（0，+∞），都有$\frac{x-1}{x}$≤lnx．

點評 本題考查不等式的證明，考查導數(shù)知識的綜合運用，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．若實數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{{a}^{2}-2lna}$=$\frac{3c-4}2wmkue0$=1，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值為（　�。�
A．$\frac{（1-ln2）\sqrt{10}}{5}$B．$\frac{（1+ln2）\sqrt{10}}{5}$C．$\frac{（3-ln2）\sqrt{10}}{5}$D．$\frac{（3+ln2）\sqrt{10}}{5}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．YZ軟件公司研發(fā)了一種新學習輔助軟件，該軟件上市后，前5個月在S中學的銷售情況如下：
第x個月12345
售出軟件套數(shù)y（套）23578
（1）設y關(guān)于x的回歸直線方程為$\widehat{y}$=b$\widehat{x}$+a，現(xiàn)根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出了b的值為1.6，試求a的值，并估計該公司第6個月在S中學的銷售量（計算結(jié)果精確到1）；
（2）軟件上市后，公司的研發(fā)團隊對軟件進行了修改和升級：所有第一個月購買的軟件，YZ公司都免費升級，第二個月及以后購買的軟件無需升級．S中學的A班的兩個同學在前兩個月分別向YZ公司購買了該軟件1套，求這兩個同學中有同學所購軟件需升級的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．求（1）an=-2n2+9n+3的最大值；
（2）an=$\frac{n-1}{n+3}$的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x3+x2-2ax-1，f′（-1）=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)，給出下列函數(shù)：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx），其中是F函數(shù)的序號為①③．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-6x+13}$+$\sqrt{{x}^{2}+4x+5}$的最小值為$\sqrt{34}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．在等比數(shù)列{an}中，若a3=2，a5=16，則a4=（　　）
A．±4$\sqrt{2}$B．-4$\sqrt{2}$C．4$\sqrt{2}$D．4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列說法正確的是-（　　）
A．m?α，n∥m⇒n∥αB．m?α，n⊥m⇒n⊥α
C．n?β，n⊥α⇒α⊥βD．m?α，m∥β，l?β，l∥α⇒α∥β

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