Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)，給出下列函數(shù)：①f（x）=0；②f（x）=x²；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx），其中是F函數(shù)的序號(hào)為①③．

Answer 1

分析 本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)F函數(shù)的定義進(jìn)行判定：對(duì)于①f（x）=0，顯然對(duì)任意常數(shù)m＞0，均成立；
對(duì)于②，f（x）=x²，|f（x）|＜m|x|，顯然不成立；
對(duì)于③，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$，|f（x）|=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|x|≤$\frac{4}{3}$|x|，
故對(duì)任意的m＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜m|x|成立；從而可得到正確結(jié)論；
對(duì)于④，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），x=0時(shí)，|f（x）|＜m|x|不成立．

解答 解：對(duì)于①f（x）=0，顯然對(duì)任意常數(shù)m＞0，均成立，故f（x）為F函數(shù)；
對(duì)于②，|f（x）|＜m|x|，顯然不成立，故其不是F函數(shù)；
對(duì)于③，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$，|f（x）|=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|x|≤$\frac{4}{3}$|x|，
故對(duì)任意的m＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜m|x|成立；故其是F函數(shù)；
對(duì)于④，f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），x=0時(shí)，|f（x）|＜m|x|不成立．
由于x=0時(shí)，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函數(shù)．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，主要考查根據(jù)所給的新定義來(lái)驗(yàn)證函數(shù)是否滿足定義中的規(guī)則，是函數(shù)知識(shí)的給定應(yīng)用題，綜合性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意運(yùn)用所深知識(shí)靈活變化進(jìn)行證明，考查學(xué)生的閱讀理解能力與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，