Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

5

，且對(duì)任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=

2

3

（

1

an

+5），求數(shù)列{

bn

3n

}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，從而

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，由此能證明{

1

an

}是首項(xiàng)為

5

2

，公差為

3

2

的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由

1

an

=

3n+2

2

，得an=

2

3n+2

，從而b_n=n+4，

bn

3n

=

n+4

3n

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

bn

3n

}前n項(xiàng)和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

5

，且對(duì)任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

，
∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，
∴{

1

an

}是首項(xiàng)為

5

2

，公差為

3

2

的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式為：

1

an

=

5

2

+(n-1)×

3

2

=

3n+2

2

，
∴an=

2

3n+2

，∴b_n=

2

3

（

1

an

+5）=n+4，

bn

3n

=

n+4

3n

，
∴T_n=

5

3

+

6

32

+

7

33

+…+

n+4

3n

，①

1

3

T_n=

5

32

+

6

33

+

7

34

+…+

n+4

3n+1

，②
①-②，

2

3

Tn=

5

3

+

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

-

n+4

3n+1

=

5

3

+

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+4

3n+1

=2-

n+7

3n+1

，
∴T_n=3-

n+7

2•3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．