Question

如圖，在海岸線l一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設(shè)立了A，B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足A，B，C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米．公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A，B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處（點(diǎn)D異于A，B兩點(diǎn)），然后乘同一艘游輪前往C島．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)4元，游輪每千米耗費(fèi)24元．設(shè)∠CDA=α，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元．
（1）寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并指出α的取值范圍；
（2）問中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí)，S最�。�

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題在△ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得運(yùn)輸成本S的解析式．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得cosα=

1

3

時(shí)，函數(shù)S取得極小值，由此可得中轉(zhuǎn)點(diǎn)D到A的距離以及S的最小值．

解答： 解：（1）由題在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=

π

3

，∠CDA=α，∴∠ACD=

2π

3

-α．
又AB=BC=CA=10，△ACD中，
由正弦定理知

CD

sin π 3

=

AD

sin( 2π 3 -α)

=

10

sinα

，得CD=

5 3

sinα

，AD=

10sin( 2π 3 -α)

sinα

…（3分）
∴S=8AD+16BD+24CD=

120 3 -80sin( 2π 3 -α)

sinα

+160
=40

3

•

3-cosα

sinα

+120（

π

3

＜α＜

2π

3

）．…（7分）
（2）S′=40

3

×

1-3cosα

sin2α

，令S′=0，得cosα=

1

3

．…（10分）
當(dāng)cosα＞

1

3

時(shí)，S′＜0；當(dāng)cosα＜

1

3

時(shí)，S′＞0，∴當(dāng)cosα=

1

3

時(shí)S取得最小值．…（12分）
此時(shí)，sinα=

2 2

3

，AD=

5 3 cosα+5sinα

sinα

=5+

5 6

4

，
∴中轉(zhuǎn)站距A處5+

5 6

4

千米時(shí)，運(yùn)輸成本S最�。�…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求極值，屬于中檔題．