Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-2x），g（x）=2cos²x，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A．函數(shù)f（x）在區(qū)間[

  π

  4

  ，

  π

  2

  ]上為增函數(shù)
• B．函數(shù)y=f（x）+g（x）的最小正周期為2π
• C．函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖象關(guān)于直線x=

  π

  8

  對(duì)稱
• D．將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

  π

  2

  個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象

Answer 1

分析：將f（x）與g（x）分別化簡(jiǎn)，再對(duì)A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．

解答：解：∵f（x）=sin（π-2x）=sin2x，y=sinx在[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

π

2

，π]上單調(diào)遞減，
∴f（x）=sin2x在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
又g（x）=2cos²x=1+cos2x，
∴y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴其周期T=π，由2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）得，x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，x=

π

8

；
故B錯(cuò)誤，C正確；
對(duì)于D，f（x）=sin2x

圖象向右平移 π 2 個(gè)單位

f（x-

π

2

）=sin[2（x-

π

2

）]=-sin2x≠1+cos2x=g（x），
故D錯(cuò)誤．
綜上所述，只有C正確．
故選C．．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．