Question

19．狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學中的一個典型函數(shù)，若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{C}_{R}Q}\end{array}\right.$，則稱f（x）為狄利克雷函數(shù)．對于狄利克雷函數(shù)f（x），給出下面4個命題：①對任意x∈R，都有f[f（x）]=1；②對任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③對任意x₁∈R，都有x₂∈Q，f（x₁+x₂ ）=f（x₁）；④對任意a，b∈（-∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}．其中所有真命題的序號是（　�。�

• A． ①④
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)狄利克雷函數(shù)，分別討論當x∈Q和x∈∁_RQ時，對應命題是否成立即可．

解答 解：①當x∈Q，則f（x）=1，f（1）=1，則[f（x）]=1，
當x∈∁_RQ，則f（x）=0，f（0）=1，則[f（x）]=1，即對任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正確，
②當x∈Q，則-x∈Q，則f（-x）=1，f（x）=1，此時f（-x）=f（x），
當x∈∁_RQ，則-x∈∁_RQ，則f（-x）=0，f（x）=0，此時f（-x）=f（x），
即恒有f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故②錯誤，
③當x₁∈Q，有x₂∈Q，則x₁+x₂∈Q，此時f（x₁+x₂ ）=f（x₁）=1；
當x₁∈∁_RQ，有x₂∈Q，則x₁+x₂∈∁_RQ，此時f（x₁+x₂ ）=f（x₁）=0；
綜上恒有f（x₁+x₂ ）=f（x₁）成立，故③正確，
④∵f（x）≥0恒成立，∴對任意a，b∈（-∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}=R，故④正確，
故正確的命題是①③④，
故選：D

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及新定義，正確理解狄利克雷函數(shù)的分段函數(shù)意義是解決本題的關(guān)鍵．