Question

9．以下函數(shù)，在區(qū)間[3，5]內(nèi)存在零點的是（　�。�

• A． f（x）=-x³-3x+5
• B． f（x）=2^x-4
• C． f（x）=2xln（x-2）-3
• D． f（x）=-$\frac{1}{x}$+2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析選項，分析所給函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而由函數(shù)的零點判定定理分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A、f（x）=-x³-3x+5，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=-3x²-3＜0
則f（x）單調(diào)遞減，又f（3）=-27-9+5-31＜0，
即函數(shù)f（x）在[3，5]中最大值小于0，
∴在[3，5]上不存在x使得f（x）=0，即沒有零點，不合題意；
對于B、f（x）=2^x-4為單調(diào)增函數(shù)，
又f（3）=8-4=4＞0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，5]中最小值大于0，
故在[3、5]上不存在x使得f（x）=0，即沒有零點，不合題意；
對于C、f（x）=2xl_n（x-2）-3
f（3）=-3＜0 f（5）=10ln3-3＞0
f（3）f（5）＜0
根據(jù)零點存在性定理，f（x）=2xl_n（x-2）-3在[3、5]上有零點，符合題意；
對于D、f（x）=-$\frac{1}{x}$+2，在[3，5]單調(diào)遞增，
且f（3）=$\frac{5}{3}$＞0，即f（x）=-$\frac{1}{x}$+2在[3、5]中最小值大于0，
在[3，5]上不存在x使得f（x）=0，即沒有零點不合題意；
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，函數(shù)的零點的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，屬于基礎(chǔ)題．