Question

三條直線兩兩異面，則稱為一組“Γ型線”，任選長方體12條面對角線中3條，設(shè)“Γ型線”的組數(shù)為m，則(

x

-

2

x

)

m

4

的展開式中的常數(shù)項是（　　）

• A、-3
• B、-60
• C、60
• D、不存在

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應(yīng)用,二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：由正方體的幾何結(jié)構(gòu)，結(jié)合異面直線的定義，按上下底面，前后面，左右面分類討論，求得m．然后利用二項式定理求出則(

x

-

2

x

)

m

4

的展開式，分析可得其常數(shù)項，即可得答案．

解答： 解：如圖：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，
上下這組平行平面中，AC、B′D′異面，與其他面的A′D、B′C、DC′、AB′，
可以形成兩兩異面的直線即“Γ型線”有4組，即AC、B′D′、A′D，AC、B′D′、B′C，AC、B′D′、DC′，AC、B′D′、AB′，
同理：DB與A′C′異面可以確定的“Γ型線”也有4組，
又正方體有三組平行平面，故共有8×3=24組“Γ型線”；即m=24．
則(

x

-

2

x

)

m

4

=(

x

-

2

x

)6，
其展開式為T_r+1=C₆^r（

x

）^6-r×（-

2

x

）^r=（-2）^r×C₆^r×x3-

3r

2

，
分析可得，其常數(shù)項為T₃=（-2）²×C₆²=60，
故選：C．

點評：本題考查簡單的計數(shù)原理，難點在于合理作圖與正確分類討論，屬于難題．