Question

已知函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點A(1，

1

8

)和B(2，

1

2

)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）記a_n=log₂f（n），n是正整數(shù)，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和，求S₃₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點A(1，

1

8

)和B(2，

1

2

)，則必有

ab= 1 8 ab2= 1 2

解出ab的值即可寫出解析式；
（Ⅱ）由（1）知：an=log2f(n)=log2

4n

32

=log24n-log232=2n-5，可證{a_n}是等差數(shù)列，代入前n項和公式即得．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=a•b^x的圖象過點A(1，

1

8

)和B(2，

1

2

)．
∴可得

ab= 1 8 ab2= 1 2

（2分）  解得

a= 1 32 b=4

（4分）
∴f(x)=

4x

32

（5分）
（Ⅱ）由題意an=log2f(n)=log2

4n

32

=log24n-log232=2n-5，n∈N^*（7分）
因為an+1-an=2(n∈N*)故{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=-3，（9分）
由Sn=

n(a1+an)

2

，得S30=

30(-3+2×30-5)

2

=780．
故答案為：780．（12分）

點評：本題為等差數(shù)列的求和問題，涉及指數(shù)函數(shù)，由函數(shù)構造數(shù)列并證明為等差數(shù)列是解決問題的關鍵，屬中檔題．