Question

19．已知α，β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且α+β＜0，若sinα=1-m，sinβ=1-m²，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （-2，1）
• C． （1，$\sqrt{2}$]
• D． （-$\sqrt{2}$，1）

Answer 1

分析 先根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和α，β的范圍，求得關(guān)于m的方程組求得m的范圍，進(jìn)而利用兩角和公式根據(jù)α+β＜0進(jìn)而判斷出m的另一范圍，最后綜合求得m的范圍．

解答 解：由sinα=1-m可以得到：-1≤sinα=1-m≤1，即0≤m≤2…①
由sinβ=1-m²可以得到：-1≤1-m²≤1，即-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{2}$…②
由①②得到：0≤m≤$\sqrt{2}$，
又∵α+β＜0，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（1-m）cosβ+（1-m²）cosα＜0
（1-m）（cosβ+cosα+mcosα）＜0
∵cosα+cosβ+mcosα＞0，
∴1-m＜0，即m＞1，
所以m的范圍為：（1，$\sqrt{2}$]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用．考查了考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．