Question

已知函數(shù)f（x）=

log2(1-x)+1，-1≤x＜k x3-3x+2，k≤x≤a

，若存在k使得函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[

  3

  ，+∞）
• B、[1，

  3

  ]
• C、（0，

  3

  ]
• D、{2}

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于y=log₂（1-x）+1在[-1，k）上是遞減函數(shù)，再由函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，得到k的范圍，
再由y=x³-3x+2的圖象，結(jié)合函數(shù)的值域[0，2]，從而得到a的取值范圍．

解答： 解：由于y=log₂（1-x）+1在[-1，k）上是遞減函數(shù)，
且x=-1時(shí)，y=2，x=

1

2

時(shí)，y=0，故-1＜k≤

1

2

，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，令x³-3x+2=2，解得x=0，

3

，-

3

（舍去），由于存在k使得函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，
故a的取值范圍是[1，

3

]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的圖象和應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．