Question

已知函數(shù)，其中e為自然數(shù)．
（1）判定函數(shù)的奇偶性；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵e^x+e^-x＞0恒成立，∴f（x）的定義域為R
∵f（-x）==-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵=，設(shè)t=e^2x，t＞0，
∵f（t）==1-，由t＞0，t+1＞1，0＜＜2，
所以f（t）∈（-1，1），
即f（x）的值域為（-1，1）
分析：（1）先證明定義域關(guān)于原點對稱，再證明f（-x）=-f（x）即可；
（2）利用換元法設(shè)t=e^2x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)，再利用分離常數(shù)法，由反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)求此函數(shù)的值域即可
點評：本題考查了奇函數(shù)的定義及其證明方法，換元法、分離常數(shù)法求復(fù)合函數(shù)值域的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法