Question

如圖，已知A（4，0）、B（0，4），從點(diǎn)P（2，0）射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射到P點(diǎn)．求（1）光線所經(jīng)過(guò)的路程是多少；（2）直線AB關(guān)于直線2x-y-2=0的對(duì)稱直線．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，點(diǎn)P關(guān)于直線AB：x+y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)P″，由對(duì)稱特點(diǎn)可求P′和P″的坐標(biāo)，在利用入射光線上的點(diǎn)關(guān)于反射軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，光線所經(jīng)過(guò)的路程|P′P″|．
（2）AB的方程為x+y=4，在直線AB關(guān)于直線2x-y-2=0的對(duì)稱直線上任意取一點(diǎn)M（x，y），求得A關(guān)于直線2x-y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)，再把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入AB的方程x+y=4，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．

解答： 解：（1）點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′坐標(biāo)是（-2，0），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB：x+y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)P″（a，b），
∴

b-0 a-2 ×(-1)=-1 a+2 2 + b+0 2 -4=0

，解得

a=4 b=2

，∴光線所經(jīng)過(guò)的路程|P′P″|=2

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．
（2）AB的方程為x+y=4，在直線AB關(guān)于直線2x-y-2=0的對(duì)稱直線上任意取一點(diǎn)M（x，y），
設(shè)A關(guān)于直線2x-y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為N（x′，y′），
則由

y′-y x′-x •2=-1 2 x+x′ 2 - y+y′ 2 -2=0

 求得

x′= 14-5x 3 y′= 3y-4x+4 3

，即N（

14-5x

3

，

3y-4x+4

3

）．
再把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入AB的方程為x+y=4，化簡(jiǎn)可得3x-y-2=0，
即直線AB關(guān)于直線2x-y-2=0的對(duì)稱直線方程為3x-y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法（利用垂直及中點(diǎn)在軸上），求一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱直線的方程的方法，屬于中檔題．