Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，為橢圓C上一點(diǎn)，的面積為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在平行于OM的直線，使得直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，

所以，則橢圓C的方程為，

因?yàn)?img width=36 height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2013/05/30/21/2013053021593428653981.files/image234.gif' >，所以，解得．

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，4)．

因?yàn)镸(1，4)在橢圓上，所以，得，

解得或（不合題意，舍去），則．

所以橢圓C的方程為．

(2)假設(shè)存在符合題意的直線與橢圓C相交于，兩點(diǎn)，其方程為（因?yàn)橹本�OM的斜率，

由消去，化簡(jiǎn)得．

進(jìn)而得到，．

因?yàn)橹本�與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，

所以，

化簡(jiǎn)，得，解得．

因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，

所以，所以．

又，

，

解得．

由于，所以符合題意的直線存在，且所求的直線的方程為或．