Question

設函數f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）設g(x)=f(x)-

1

x

，在[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（3）當a≠0時，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），當a=0時，f（x）=2lnx+

1

x

，可求得f′（x）=

2x-1

x2

，將f（x），f'（x）隨x變化情況列表即可求得f（x）的極值；
（2）由題意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上單調遞增?g′（x）=

2-a

x

+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，設h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，對a分a=0，a＞0，a＜0討論即可求得答案；
（3）由題意得，f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

，令f'（x）=0得x₁=-

1

a

，x₂=

1

2

，對a分a＞0，a＜0（對a再分a＜-2，a=-2，-2＜a＜0）討論即可求得答案．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
當a=0時，f（x）=2lnx+

1

x

，
∴f′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，…（2分）
由f'（x）=0得x=

1

2

，
于是，f（x），f'（x）隨x變化如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f（x）	-	0	+
f'（x）	減函數	極小值	增函數

故，f（x）_極小值=f（

1

2

）=2-ln2，沒有極大值．…（4分）
（2）由題意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上單調遞增，
∴g′（x）=

2-a

x

+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，
設h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，…（5分）
當a=0時，2≥0恒成立，符合題意．…（6分）
當a＞0時，h（x）在[1，+∞）上單調遞增，h（x）的最小值為h（1）=2a+2-a≥0，得a≥-2，所以a＞0…（7分）
當a＜0時，h（x）在[1，+∞）上單調遞減，不合題意
所以a≥0…（9分）
（3）由題意得，f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

，
令f'（x）=0得x₁=-

1

a

，x₂=

1

2

，…（10分）
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈（0，

1

2

]；由f'（x）≥0得x∈[

1

2

，+∞）；…（11分）
若a＜0，①當a＜-2時，0＜-

1

a

＜

1

2

，x∈（0，-

1

a

]或x∈[

1

2

，+∞），f'（x）≤0；x∈[-

1

a

，

1

2

]，f'（x）≥0，
②當a=-2時，f'（x）≤0；
③當-2＜a＜0時，-

1

a

＞

1

2

，x∈（0，

1

2

]或x∈[-

1

a

，+∞），f'（x）≤0；x∈[

1

2

，-

1

a

]，f'（x）≥0．
綜上，當a＞0時，函數的單調遞減區(qū)間為（0，

1

2

]，單調遞增區(qū)間為[

1

2

，+∞）；
當a＜-2時，函數的單調遞減區(qū)間為（0，-

1

a

]，[

1

2

，+∞），單調遞增區(qū)間為[-

1

a

，

1

2

]；
當a=-2時，函數的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當-2＜a＜0時，函數的單調遞減區(qū)間為（0，

1

2

]，[-

1

a

，+∞），單調遞增區(qū)間為[

1

2

，-

1

a

]．…（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，考查利用導數研究函數的單調性，突出考查轉化與分類討論的數學思想，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．