Question

18、在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求證：BC⊥平面PBD；
（2）設(shè)E為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，，試確定λ的值，使得二面角E-BD-P的大小為45°．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件可證得DP，DA，DC三線兩兩垂直，故可以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，按題中所給的條件，給出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由數(shù)量積為0證明線面垂直．
（2）由（1）中的坐標(biāo)系，及E為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，，給出用參數(shù)表示的點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面EBD與平面PBD的法向量，由公式用參數(shù)表示出二面角的余弦值，再令其值是45°的余弦值，解出其參數(shù)值即可．
解答：解：（1）證明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分）=（-1，1，0）．
所以=0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D
所以BC⊥平面PBD．（8分）
（2）平面PBD的法向量為=（-1，1，0），，λ∈（0，1），所以E（0，2λ，1-λ），
設(shè)平面QBD的法向量為n=（a，b，c），=（0，2λ，1-λ）
由n•=0，n•=0，得所以，
∴，（10分）
由cos解得λ=-1（12分）
（用傳統(tǒng)方法解得答案酌情給分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角的求法，本題解答用的是向量法，求解此類(lèi)題，關(guān)鍵是掌握住向量公式與所求解問(wèn)題的對(duì)應(yīng)，建立合適的空間坐標(biāo)系可以大大降低運(yùn)算的難度，此種做法運(yùn)算量較大，解題時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免運(yùn)算出錯(cuò)，導(dǎo)致解題失敗．