Question

如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求證：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在線段BE上存在點M，使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為

6

3

，試確定點M的位置．
（文）若AD=2，求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）要證AB⊥平面ADE，由于CD∥AB，可通過證明CD⊥平面ADE得出．由已知，AE⊥平面CDE證出AE⊥CD，再由正方形ABCD中AD⊥CD即可證明CD⊥平面ADE．
（II）（理）存在點M，此時M為BE中點．取AE中點H，連接MH，可以得出MH⊥平面ADE，∠HAM為直線AM與平面EAD所成角的平面角，在直角△HAM中，可以求出sin∠HAM=

6

3

．
（文）由（I）證得AB⊥平面ADE，從而平面ADE⊥平面ABCD．取AD中點O，連接EO，EO⊥AD，得出EO⊥平面ABCD，EO為E到底面ABCD的距離．分別求出EO，底面ABCD的面積，再代入錐體體積公式計算．

解答：（I）證明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
正方形ABCD中AD⊥CD，
∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∵CD∥AB，∴AB⊥平面ADE．
（II）解：（理）在線段BE上存在點M，此時M為BE中點．

取AE中點H，連接MH，則MH是△EBA的中位線，MH∥AB，MH=

1

2

AB，
由（I）證得AB⊥平面ADE，
∴MH⊥平面ADE，AH為AM在平面ADE內(nèi)的射影，
∴∠HAM為直線AM與平面EAD所成角的平面角．
設正方形ABCD邊長AD=AB=2，則等腰直角三角形EAD的腰AE=

2

，在直角△HAM中，AH=

1

2

AE=

2

2

，MH=

1

2

AB=1，斜邊AM=

( 1 2 )2+ ( 2 2 )2

=

6

2

，
∴sin∠HAM=

MH

AM

=

1

6 2

=

6

3

．
（文）由（I）證得AB⊥平面ADE，AB?平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面ABCD．取AD中點O，連接EO，EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD，EO為E到底面ABCD的距離．
若AD=2，則等腰直角三角形EAD斜邊中線EO=

1

2

AD=1，
四棱錐E-ABCD的體積V=

1

3

EO×S_ABCD=

1

3

×1×22=

4

3

．

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，線面角大小度量，幾何體體積計算．考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．