Question

（本題滿分13分）

已知f(x)=ln(1+x²)+ax(a≤0)。

（1）討論f(x)的單調(diào)性。

（2）證明：（1+）（1+）…（1+）＜e （n∈N*，n≥2,其中無理數(shù)e=2.71828…）

Answer 1

解析:

解：（理）（1）f′(x)= +a=………………………………1分

(i)若a=0時(shí)，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0

∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減。    …………………………3分

（ii）若時(shí)，f′(x)≤0對(duì)x∈R恒成立。

∴f(x)在R上單調(diào)遞減。                           ……………………………6分

(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0＞0＜x＜

由f′(x)＜0可得x＞或x＜

∴f(x)在[，]單調(diào)遞增

在（-∞，]，[上單調(diào)遞減。

綜上所述：若a≤－1時(shí)，f(x)在（－∞，+∞）上單調(diào)遞減。………………………………7分

（2）由（1）當(dāng)a=－1時(shí)，f(x)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減。

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f(x)＜f(0)

∴l(xiāng)n（1+x²）－x＜0 即ln（1+x²）＜x

∴l(xiāng)n[（1+）（1+）……(1+)]

=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+

＜=1-+-+…+=1-＜1

∴（1+）（1+）……(1+)＜e   …………………………………………13分