如圖,為半圓,為半圓直徑,為半圓圓心,且,為線段的中點,已知,曲線點,動點在曲線上運(yùn)動且保持的值不變.
(I)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求曲線的方程;
(II)過點的直線與曲線交于兩點,與所在直線交于點,證明:為定值.
(1);(2).

試題分析:(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,以為坐標(biāo)原點,因為的值不變,所以會想到橢圓的定義,根據(jù)橢圓的定義,需要知道的值,易知,故橢圓的基本量就能很快求出,從而求出最終橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)圓錐曲線與向量的綜合,最好使用點的坐標(biāo)表示,可以根據(jù)題意設(shè)出的坐標(biāo),利用,的關(guān)系,反求出(含)的坐標(biāo)代入到橢圓方程中,得到,,可見是方程的兩個根,故.還可以利用聯(lián)立方程組的方法,但稍微復(fù)雜一點,具體過程見解答.
試題解析:(1)以為原點,所在直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
因為動點在曲線上運(yùn)動且保持的值不變,而點也在曲線上,
所以,滿足橢圓的定義,
故曲線是以原點為中心,為焦點的橢圓.
,,
所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)

解法一:設(shè)而不求法
設(shè)的坐標(biāo)分別為,則
,
帶入到
化簡,得
同理由,得
是方程的兩個根

解法二:聯(lián)立方程組法
設(shè)點的坐標(biāo)分別為,
易知點的坐標(biāo)為.且點B在橢圓C內(nèi),故過點B的直線l必與橢圓C相交.
顯然直線  的斜率存在,設(shè)直線 的斜率為 ,則直線  的方程是
將直線  的方程代入到橢圓  的方程中,消去  并整理得


又 ∵, 則.∴,
同理,由,∴
 .
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