Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，已知幾何體A-BCED的體積為16．

（1）求實數(shù)a的值；
（2）將直角三角形△ABD繞斜邊AD旋轉一周，求該旋轉體的表面積．

Answer 1

考點：由三視圖求面積、體積,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用幾何體A-BCED的體積為16，求實數(shù)a的值；
（2）過B作AD的垂線BH，垂足為H，得BH=

4 2

3

，求出圓錐底面周長為C=2π•

4 2

3

=

8 2 π

3

，兩個圓錐的母線長分別為4

2

和2，即可求該旋轉體的表面積．

解答： 解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，
體積V=

1

3

•4•

(a+4)×4

2

=16，
解得a=2；
（2）在RT△ABD中，AB=4

2

，BD=2，AD=6，
過B作AD的垂線BH，垂足為H，得BH=

4 2

3

，
該旋轉體由兩個同底的圓錐構成，圓錐底面半徑為BH=

4 2

3

，
所以圓錐底面周長為C=2π•

4 2

3

=

8 2 π

3

，兩個圓錐的母線長分別為4

2

和2，
故該旋轉體的表面積為S=

1

2

×

8 2 π

3

(2+4

2

)=

(32+8 2 )π

3

．

點評：本題考查了圓錐的側面積公式、積體公式和解三角形等知識，屬于基礎題．