【題目】已知函數(shù)，滿足.設為上任一點,過作的切線,其斜率滿足

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若數(shù)列滿足.設為正常數(shù).

①求；

②若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)是否存在最大值?若存在,請求出這個值；若不存在,請說明理由.

【答案】(1) ；(2) ①；② 的最大值為.

【解析】

(1)求出，結合其單調性，根據(jù)已知條件，求得即，進而可求的值.

(2) ①由題意知，可證明是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而可求.

②結合導數(shù)判斷出，從而，即可求出 的值.

(1)解：由題意知，是切點.

，.

，， 即.

，在單調遞增，.

由題意知，,.

，所以，故.

(2) ①解:由題意知,.

，，

則，

.

，

是以為首項， 為公比的等比數(shù)列.

，.

②證明:因為不等式對任意的恒成立，

所以對任意的恒成立.

設，，

則，.

設.

當 為奇數(shù)時，，，

.

當為偶數(shù)時，，

，，

綜上所述， 即 的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的左右焦點分別為， ，若橢圓上一點滿足，且橢圓過點，過點的直線與橢圓交于兩點 .

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作軸的垂線，交橢圓于，求證： ， ， 三點共線.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

支付金額

支付方式

不大于2000元

大于2000元

僅使用A

27人

3人

僅使用B

24人

1人

（Ⅰ）估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（Ⅱ）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結合（Ⅱ）的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近幾年，我國鮮切花產業(yè)得到了快速發(fā)展，相關部門制定了鮮切花產品行業(yè)等級標準，統(tǒng)一使用綜合指標值進行衡量，如下表所示.某花卉生產基地準備購進一套新型的生產線，現(xiàn)進行設備試用，分別從新舊兩條生產線加工的產品中選取30個樣品進行等級評定，整理成如圖所示的莖葉圖.

綜合指標

質量等級

三級

二級

一級

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖比較兩條生產線加工的產品的綜合指標值的平均值及分散程度（直接給出結論即可）；

（Ⅱ）若從等級為三級的樣品中隨機選取3個進行生產流程調查，其中來自新型生產線的樣品個數(shù)為，求的分布列；

（Ⅲ）根據(jù)該花卉生產基地的生產記錄，原有生產線加工的產品的單件平均利潤為4元，產品的銷售率（某等級產品的銷量與產量的比值）及產品售價如下表：

三級花

二級花

一級花

銷售率

單件售價

12元

16元

20元

預計該新型生產線加工的鮮切花單件產品的成本為10元，日產量3000件.因為鮮切花產品的保鮮特點，未售出的產品統(tǒng)一按原售價的50%全部處理完.如果僅從單件產品利潤的角度考慮，該生產基地是否需要引進該新型生產線？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線與拋物線交于兩點.

（Ⅰ）若，求以為直徑的圓被軸所截得的弦長；

（Ⅱ）分別過點作拋物線的切線，兩條切線交于點，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知對數(shù)函數(shù)過定點（其中），函數(shù)（其中為的導函數(shù)，，為常數(shù)）

（1）討論的單調性；

（2）若對有恒成立，且在（）處的導數(shù)相等，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，，…，為取自某總體的樣本，其算術平均值稱為樣本均值，一般用表示，即，在分組樣本場合，樣本均值的近似公式為，其中k為組數(shù)，為第i組的組中值，為第i組的頻數(shù).某單位收集到20名青年的某天娛樂支出費用數(shù)據(jù)：

79 84 84 88 92 93 94 97 98 99

100 101 101 102 102 108 110 113 118 125

若將分為五組，第一組為，根據(jù)分組樣本計算樣本均值為（ ）

A.99.4B.143.16C.100D.11.96

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．

（1）若，，求數(shù)列的前2n項和；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．

①當數(shù)列為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列，的公差相等；

②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】BMI指數(shù)是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)值，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準.對于高中男體育特長生而言，當BMI數(shù)值大于或等于20.5時，我們說體重較重，當BMI數(shù)值小于20.5時，我們說體重較輕，身高大于或等于170cm時，我們說身高較高，身高小于170cm時，我們說身高較矮.某中小學生成長與發(fā)展機構從某市的320名高中男體育特長生中隨機選取8名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：

編號

1

2

3

4

5

6

7

8

身高（cm）

166

167

160

173

178

169

158

173

體重（kg）

57

58

53

61

66

57

50

66

（1）根據(jù)最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程.利用已經求得的線性回歸方程，請完善下列殘差表，并求解釋變量（身高）對于預報變量（體重）變化的貢獻值（保留兩位有效數(shù)字）；

編號

1

2

3

4

5

6

7

8

身高（cm）

166

167

160

173

178

169

158

173

體重（kg）

57

58

53

61

66

57

50

66

殘差

0.1

0.3

0.9

﹣1.5

﹣0.5

（2）通過殘差分析，對于殘差的最大（絕對值）的那組數(shù)據(jù)，需要確認在樣本點的采集中是否有人為的錯誤.已知通過重新采集發(fā)現(xiàn)，該組數(shù)據(jù)的體重應該為58（kg）.請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出男體育特長生的身高與體重的線性回歸方程.

參考公式： ，..

參考數(shù)據(jù)：，，，，.

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