Question

如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐．AB=2，BC=3，點P∈平面CC₁D₁D且．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）若AA₁=a，當a為何值時，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（Ⅰ）證明PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）過P點在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE，可得∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角，從而可求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）當a=2時，PC∥平面AB₁D，利用線面平行的判定可得結論；
方法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，證明PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求得，平面ABCD的一個法向量為，利用向量的夾角公式，可求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）求得平面AB₁D的一個法向量為，要使得PC∥平面AB₁D，則要，從而可得結論．
解答：方法一：（Ⅰ）證明：因為，CD=AB=2，
所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD⊥PC．                …（1分）
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，所以BC⊥面CC₁D₁D，
而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．    （3分）
因為PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，
所以由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）解：過P點在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE．…（5分）
因為面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，
所以∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角．…（6分）
因為PE=1，，所以．
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為．…（8分）
（Ⅲ）解：當a=2時，PC∥平面AB₁D．…（9分）
當a=2時，四邊形CC₁D₁D是一個正方形，所以∠C₁DC=45°，
而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．…（10分）
而PC⊥PD，C₁D與PC在同一個平面內，所以PC∥C₁D．…（11分）
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D． …（12分）
方法二：（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標系，設棱長AA₁=a，則有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）．  …（2分）
于是，，，所以，．…（3分）
所以PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．  …（4分）
（Ⅱ）解：A（3，0，a），所以，而平面ABCD的一個法向量為．…（5分）
所以．…（6分）
所以PA與平面ABCD所成的角的正弦值為． …（7分）
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為．…（8分）
（Ⅲ）解：B₁=（3，2，0），所以，．
設平面AB₁D的法向量為，則有，
令z=2，可得平面AB₁D的一個法向量為．  …（10分）
若要使得PC∥平面AB₁D，則要，即，解得a=2．…（11分）
所以當a=2時，PC∥平面AB₁D．  …（12分）
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，線面角，考查空間向量知識的運用，屬于中檔題．