Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x2-1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)還是減函數(shù)；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）•（x+1），求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）令0＜x₁＜x₂＜1，則有f（x₂）-f（x₁）＜0即可判斷函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)還是減函數(shù)；
（3）g（x）=1+

1

x-1

，x不能等于1，結(jié)合函數(shù)的圖象，故可求函數(shù)g（x）的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=

-x

x2-1

=-

x

x2-1

=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）令0＜x₁＜x₂＜1，則有f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22-1

-

x1

x12-1

=

(x1-x2)(x1x2+1)

(x22-1)(x12-1)

＜0，
故函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（3）g（x）=f（x）•（x+1）=

x

x-1

=1+

1

x-1

由x不能等于1，結(jié)合函數(shù)的圖象，故函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題．