Question

已知函數(shù)f（x）=（x+1）²
（1）當(dāng)1≤x≤m時，不等式f（x-3）≤x恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（2）在曲線y=f（x+t）上存在兩點關(guān)于直線y=x對稱，求t的取值范圍；
（3）在直線y=-

1

4

上取一點P，過點P作曲線y=f（x+t）的兩條切線l₁、l₂，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)1≤x≤m時，不等式f（x-3）≤x恒成立，即y=f（x-3）=（x-2）²在區(qū)間[1，4]上圖象在直線y=x的下面，求出兩個函數(shù)圖象交點的坐標(biāo)，可得答案．
（2）若曲線y=f（x+t）上存在兩點A，B關(guān)于直線y=x對稱，則方程組

y=f(x+t) y=-x+b

有解，結(jié)合一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)鍵，韋達定理等，可得t的取值范圍；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)為（a，-

1

4

），可求出過點P作曲線y=f（x+t）的切線方程，結(jié)合切線與曲線只有一個交點，聯(lián)立所得方程組只有一解，可得兩條直線的斜率積為-1，進而得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（x+1）²
∴f（x-3）=（x-2）²
由

y=x y=(x-2)2

得

x=1 y=1

或

x=4 y=4

即y=f（x-3）=（x-2）²在區(qū)間[1，4]上圖象在直線y=x的下面，
即f（x-3）≤x恒成立，
∴m的最大值為4．
（2）設(shè)曲線上關(guān)于直線y=x的對稱點為A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）
則直線AB的方程為：y=-x+b
若在曲線y=f（x+t）上存在兩點關(guān)于直線y=x對稱，
則方程組

y=f(x+t) y=-x+b

有解
即方程組

y=(x+t+1)2 y=-x+b

有解
即方程x²+（2t+3）x+（t+1）²-b=0有解
即△=（2t+3）²-4[（t+1）²-b]=4t+5+4b＞0…①
則x₁+x₂=-2t-3，x₀=-

2t+3

2

，y₀=-x₀+b=

2t+3

2

+b
又因為AB中點在直線y=x上，所以y₀=x₀，
得b=-2t-3
代入①式得：t＜-

7

4

證明：（3）設(shè)P的坐標(biāo)為（a，-

1

4

），過P的切線方程為：y+

1

4

=k（x-a），
則方程組

y=f(x+t) y+ 1 4 =k(x-a)

有且只有一解
即方程組

y=(x+t+1)2 y+ 1 4 =k(x-a)

有且只有一解
即方程x2+[2(t+1)-k]x+(t+1)2+ka+

1

4

=0有一解
即△=[2(t+1)-k]2-4[(t+1)2+ka+

1

4

]=k²-4（t+1+a）k-1=0
直線l₁、l₂的斜率k₁、k₂為方程k²-4（t+1+a）k-1=0的兩根，
則k₁•k₂=-1
∴l(xiāng)₁⊥l₂．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直線的交點，曲線的切線，韋達定理，直線垂直的充要條件，是函數(shù)與解析幾何的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．