Question

已知向量

a

=（cos（2x-

π

3

），cosx+sinx），

b

=（1，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f（A）=

3

2

，a=2，B=

π

3

，求△ABC的面積S．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f（x）解析式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由第一問確定出的f（x）解析式，根據(jù)f（A）=

3

2

確定出A的度數(shù)，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同時利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式求出sinC的值，利用三角形面積公式即可求出S．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（cos（2x-

π

3

），cosx+sinx），

b

=（1，cosx-sinx），
∴函數(shù)f（x）=

a

•

b

=cos（2x-

π

3

）+cos²x-sin²x=cos（2x-

π

3

）+cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x=

3

sin（2x+

π

3

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（A）=

3

sin（2A+

π

3

）=

3

2

，得sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵A為△ABC的內(nèi)角，由題意知0＜A＜

2π

3

，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴2A+

π

3

=

5π

6

，
解得：A=

π

4

，
又a=2，B=

π

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

asinB

sinA

=

6

，
∵A=

π

4

，B=

π

3

，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=

2

2

×

1

2

+

2

2

×

3

2

=

6 + 2

4

，
則△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×2×

6

×

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形的面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．