Question

10．曲線 y=$\sqrt{x}$與 $y={x^{\frac{3}{2}}}$所圍成的封閉圖形的面積為（　　）

• A． ．$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{4}{15}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0，積分上限為1，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可．

解答 解：聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y={x}^{\frac{3}{2}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
則曲線 y=$\sqrt{x}$與 $y={x^{\frac{3}{2}}}$所圍成的封閉圖形的面積為S=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{x}$-x）dx+${∫}_{0}^{1}$（x-${x}^{\frac{3}{2}}$）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{0}^{1}$+（$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}$）|${\;}_{0}^{1}$=（$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{5}$）=$\frac{4}{15}$，
故選：B

點評 本題主要考查了學(xué)生會求出原函數(shù)的能力，以及考查了數(shù)形結(jié)合的思想，同時會利用定積分求圖形面積的能力，解題的關(guān)鍵就是求原函數(shù)．