已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C=
π
3
，b=5，△ABC的面積為10
3
．
（1）求a，c的值；  
（2）求sin（A+
π
3
）的值．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),余弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）△ABC中，由題意可得
1
2
•a•5•sin
π
3
=10
3
，由此求得a的值，再由余弦定理求得c的值．
（2）由余弦定理可得cosA的值，可得 A的值，從而求得 sin（A+
π
3
）的值．
解答： 解：（1）△ABC中，∵C=
π
3
，b=5，△ABC的面積為10
3
，
∴
1
2
•a•5•sin
π
3
=10
3
，求得a=8．
再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab•cos
π
3
=49，∴c=7．
（2）由余弦定理可得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
25+49-64
70
=
1
7
，∴sinA=
4
3
7
，
∴sin（A+
π
3
）=sinAcos
π
3
+cosAsin
π
3
=
4
3
7
×
1
2
+
1
7
×
3
2
=
5
3
14
．
點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，兩角和的正弦公式，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈（0，2）直線l1：ax-2y-2a+4=0與直線l2：2x+a2y-2a2-4=0與坐標軸圍成一個四邊形，求此四邊形面積的最小值？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c都是實數(shù)，證明ac＜0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x2-2x．
（I）證明：對任意x∈R，f（x）＞2x-6恒成立；
（Ⅱ）解不等式f（x）≤|x-1|+|x-2|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
（1）求此橢圓的焦點坐標和離心率；
（2）設此橢圓的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，試求△ABF1的周長與面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=
1
4
，且nan+1-（n-1）an=anan+1．（n≥2，n∈N+）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對一切n∈N+有a12+22+…+an2＜
7
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的余弦公式，有
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①-②得 cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ
令 α+β=A，α-β=B，有α=
A+B
2
，β=
A-B
2
代入③得cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

（1）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的正弦公式，證明：sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

（2）若在△ABC的三個內(nèi)角A，B，C，滿足在cos2A-cos2B=1-cos2C試判斷△ABC的形狀．（提示：如需要可直接利用或參閱結論）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四個正數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個數(shù)成等比數(shù)列，其最后一個數(shù)為函數(shù)y=21-4x-x2的最大值，求這四個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓
x2
16
+
y2
7
=1的左右焦點為F1，F(xiàn)2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為
 
．

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